https://wiki.qualcuno.xyz/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Cal 2026-05-14T18:32:18Z User contributions MediaWiki 1.45.3 https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Arancina&diff=96 2023-07-16T09:00:08Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>[[File:Arancina.png|center|frame]]<br /> {|class=&quot;table&quot;<br /> !Level<br /> !Proficiency Bonus<br /> !Features<br /> !Cantrips Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> !5th<br /> !6th<br /> !7th<br /> !8th<br /> !9th<br /> |-<br /> |1st<br /> | +2<br /> |Spellcasting, Arcane Recovery<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |2nd<br /> | +2<br /> |Arcane Tradition<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |3rd<br /> | +2<br /> |''Cantrip Formulas (Optional)''<br /> |3<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> | +2<br /> |Ability Score Improvement<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> | +3<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> | +3<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> | +3<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> | +3<br /> |Ability Score Improvement<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> | +4<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> | +4<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> | +4<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> | +4<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> | +5<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> | +5<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> | +5<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> | +5<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> | +6<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |18th<br /> | +6<br /> |Spell Mastery<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |19th<br /> | +6<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> | +6<br /> |Signature Spells<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |}<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/wizard<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/wizard:divination<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/feat:telekinetic<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/feat:lucky</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>/* Any JavaScript here will be loaded for all users on every page load. */<br /> $(typesetMath);<br /> //if ( $('#wikiPreview').length ){<br /> setInterval(typesetMath,1000);<br /> //}</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Arancina&diff=94 2022-11-16T14:07:16Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>[[File:Arancina.png|center|frame]]<br /> {|class=&quot;table&quot;<br /> !Level<br /> !Proficiency Bonus<br /> !Features<br /> !Cantrips Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> !5th<br /> !6th<br /> !7th<br /> !8th<br /> !9th<br /> |-<br /> |1st<br /> | +2<br /> |Spellcasting, Arcane Recovery<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |2nd<br /> | +2<br /> |Arcane Tradition<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |3rd<br /> | +2<br /> |''Cantrip Formulas (Optional)''<br /> |3<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> | +2<br /> |Ability Score Improvement<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> | +3<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> | +3<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> | +3<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> | +3<br /> |Ability Score Improvement<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> | +4<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> | +4<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> | +4<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> | +4<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> | +5<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> | +5<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> | +5<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> | +5<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> | +6<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |18th<br /> | +6<br /> |Spell Mastery<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |19th<br /> | +6<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> | +6<br /> |Signature Spells<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |}<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/wizard<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/wizard:divination<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/feat:telekinetic<br /> *</div>

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<p>Cal: class</p> <hr /> <div>[[File:Arancina.png|center|frame]]<br /> {|class=&quot;table&quot;<br /> !Level<br /> !Proficiency Bonus<br /> !Features<br /> !Cantrips Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> !5th<br /> !6th<br /> !7th<br /> !8th<br /> !9th<br /> |-<br /> |1st<br /> | +2<br /> |Spellcasting, Arcane Recovery<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |2nd<br /> | +2<br /> |Arcane Tradition<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |3rd<br /> | +2<br /> |''Cantrip Formulas (Optional)''<br /> |3<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> | +2<br /> |Ability Score Improvement<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> | +3<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> | +3<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> | +3<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> | +3<br /> |Ability Score Improvement<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> | +4<br /> |<br /> |4<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> | +4<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> | +4<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> | +4<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> | +5<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> | +5<br /> |Arcane Tradition feature<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> | +5<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> | +5<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> | +6<br /> |<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |18th<br /> | +6<br /> |Spell Mastery<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |19th<br /> | +6<br /> |Ability Score Improvement<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> | +6<br /> |Signature Spells<br /> |5<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |3<br /> |2<br /> |2<br /> |1<br /> |1<br /> |}<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/wizard:divination<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/feat:telekinetic<br /> *</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>[[File:Arancina.png|center|frame]]<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/wizard:divination<br /> *http://dnd5e.wikidot.com/feat:telekinetic<br /> *</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>a witch</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}\tag{generica}$$<br /> <br /> ====Condizioni al contorno iniziali====<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni, date le condizioni iniziali, sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====Parità e condizioni al contorno generiche====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos (i \lambda x) - i \sin (i \lambda x) ) + b_2 (\cos (i\lambda x) + i \sin (i\lambda x) ) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos (i\lambda x) - i(b_1 - b_2) \sin (i\lambda x) \\<br /> \\<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; \lambda (b_1 e^{\lambda x} - b_2 e^{-\lambda x}) \\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ b_1 \left(\cos (i \lambda x) - i \sin(i \lambda x)\right) - b_2 \left(\cos (i \lambda x) + i \sin (i \lambda x) \right)\right]\\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ (b_1-b_2)\cos (i \lambda x) - i(b_1+b_2) \sin (i \lambda x) \right]<br /> \end{array}$$<br /> <br /> Da ciò sembra evidente che le $X$ sono una somma di oggetti pari (i coseni) e oggetti dispari (i seni), per imporre una parità definita dovremmo annullare una delle due parti. Per $X$ pari, dovremmo avere $b_1=b_2$, e per $X$ dispari si avrà $b_1 = - b_2$:<br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X_p(x) &amp;=&amp; 2 b_1 \cos (i \lambda x) \\<br /> X_p^\prime(x) &amp;=&amp; - 2 i \lambda b_1 \sin (i \lambda x) \\<br /> X_d(x) &amp;=&amp; - 2i b_1 \sin (i \lambda x)\\<br /> X_d^\prime(x) &amp;=&amp; 2 \lambda b_1 \cos (i \lambda x)<br /> \end{array}$$ <br /> <br /> A ognuna di queste vanno applicate le nuove condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> AX_p(-\frac{\pi}{2}) + BX_p^\prime(-\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> CX_p(\frac{\pi}{2}) + DX_p^\prime(\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> AX_d(-\frac{\pi}{2}) + BX_d^\prime(-\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> CX_d(\frac{\pi}{2}) + DX_d^\prime(\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> $$\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>'''Sazizzo''' è un mezz'orco guerriero molto caotico. Nel suo essere caotico, non prende posizione. È un mezz'orco guerriero, caotico neutrale, arciere, e eldritch knight. <br /> <br /> Attualmente al livello 5, ha due attacchi, proficiency +3. <br /> [[File:Sasizzo.png|frameless|right]]<br /> <br /> === Stats ===<br /> STR 18; DEX 14; COS 16; INT 14; WIS 13; CHA 13. @lvl5<br /> <br /> === Caratteristiche ===<br /> Da guerriero ha ''Second Wind'' e ''Action Surge''. <br /> <br /> Da mezz'orco ha ''Relentless Endurance''.<br /> <br /> Dal fighting style ha +2 agli attacchi ranged. <br /> <br /> === Spells ===<br /> Come Eldritch Knight impara dalla [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/wizard/spells/ lista del mago], ma è in buona parte [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/fighter/spells/ limitato alle scuole di '''abiurazione''' e '''evocazione'''].<br /> <br /> Quelli dalla lista del mago vengono imparati uno per volta ai livelli 3, 8, 14, 20.<br /> <br /> Quelli di abiurazione ed evocazione, due si imparano al livello 3, e poi uno per volta ai livelli 4, 7, 10, 11, 13, 16, 19.<br /> <br /> La lista completa degli slot dal player's handbook è <br /> {| class=&quot;table&quot;<br /> ! colspan=&quot;3&quot; |Eldritch Knight Spellcasting<br /> ! colspan=&quot;8&quot; |Spell Slots per Spell Level<br /> |-<br /> !Fighter Level<br /> !Cantrips Known<br /> !Spells Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> |-<br /> |3rd<br /> |2<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> |2<br /> |5<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> |3<br /> |7<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> |3<br /> |9<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |18th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |19th<br /> |3<br /> |12<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> |3<br /> |13<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |}<br /> <br /> ==== Cantrips: ====<br /> Due conosciuti, uno aggiuntivo al livello 10.<br /> <br /> * Booming blade<br /> * Sword burst<br /> <br /> ==== Lvl 1: ====<br /> <br /> *<br /> <br /> * shield (imparato lvl3)<br /> * burning hands (lvl3)<br /> * find familiar (lvl3) ''(dalla scuola di conjuring)''<br /> * mage armor (lvl4, da possibilmente dimenticare al lvl7)&lt;br /&gt;<br /> <br /> === Possibili evoluzioni ===<br /> Al livello 6 potrebbe acquisire ''war caster'' come talento, o aumentare STR o INT. <br /> [[Category:Dungeons and Dragons]]</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>'''Sazizzo''' è un mezz'orco guerriero molto caotico. Nel suo essere caotico, non prende posizione. È un mezz'orco guerriero, caotico neutrale, arciere, e eldritch knight. <br /> <br /> Attualmente al livello 5, ha due attacchi, proficiency +3. <br /> [[File:Sasizzo.png|frameless|right]]<br /> <br /> === Stats ===<br /> STR 18; DEX 14; COS 16; INT 14; WIS 13; CHA 13. @lvl5<br /> <br /> === Caratteristiche ===<br /> Da guerriero ha ''Second Wind'' e ''Action Surge''. <br /> <br /> Da mezz'orco ha ''Relentless Endurance''.<br /> <br /> Dal fighting style ha +2 agli attacchi ranged. <br /> <br /> === Spells ===<br /> Come Eldritch Knight impara dalla [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/wizard/spells/ lista del mago], ma è in buona parte [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/fighter/spells/ limitato alle scuole di '''abiurazione''' e '''evocazione'''].<br /> <br /> Quelli dalla lista del mago vengono imparati uno per volta ai livelli 3, 8, 14, 20.<br /> <br /> Quelli di abiurazione ed evocazione, due si imparano al livello 3, e poi uno per volta ai livelli 4, 7, 10, 11, 13, 16, 19.<br /> <br /> La lista completa degli slot dal player's handbook è <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> ! colspan=&quot;3&quot; |Eldritch Knight Spellcasting<br /> ! colspan=&quot;8&quot; |Spell Slots per Spell Level<br /> |-<br /> !Fighter Level<br /> !Cantrips Known<br /> !Spells Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> |-<br /> |3rd<br /> |2<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> |2<br /> |5<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> |3<br /> |7<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> |3<br /> |9<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |18th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |19th<br /> |3<br /> |12<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> |3<br /> |13<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |}<br /> <br /> ==== Cantrips: ====<br /> Due conosciuti, uno aggiuntivo al livello 10.<br /> <br /> * Booming blade<br /> * Sword burst<br /> <br /> ==== Lvl 1: ====<br /> <br /> *<br /> <br /> * shield (imparato lvl3)<br /> * burning hands (lvl3)<br /> * find familiar (lvl3) ''(dalla scuola di conjuring)''<br /> * mage armor (lvl4, da possibilmente dimenticare al lvl7)&lt;br /&gt;<br /> <br /> === Possibili evoluzioni ===<br /> Al livello 6 potrebbe acquisire ''war caster'' come talento, o aumentare STR o INT. <br /> [[Category:Dungeons and Dragons]]</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>'''Sazizzo''' è un mezz'orco guerriero molto caotico. Nel suo essere caotico, non prende posizione. È un mezz'orco guerriero, caotico neutrale, arciere, e eldritch knight. <br /> <br /> Attualmente al livello 5, ha due attacchi, proficiency +3. <br /> [[File:Sasizzo.png|center|frameless]]<br /> <br /> === Stats ===<br /> STR 18; DEX 14; COS 16; INT 14; WIS 13; CHA 13. @lvl5<br /> <br /> === Caratteristiche ===<br /> Da guerriero ha ''Second Wind'' e ''Action Surge''. <br /> <br /> Da mezz'orco ha ''Relentless Endurance''.<br /> <br /> Dal fighting style ha +2 agli attacchi ranged. <br /> <br /> === Spells ===<br /> Come Eldritch Knight impara dalla [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/wizard/spells/ lista del mago], ma è in buona parte [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/fighter/spells/ limitato alle scuole di '''abiurazione''' e '''evocazione'''].<br /> <br /> Quelli dalla lista del mago vengono imparati uno per volta ai livelli 3, 8, 14, 20.<br /> <br /> Quelli di abiurazione ed evocazione, due si imparano al livello 3, e poi uno per volta ai livelli 4, 7, 10, 11, 13, 16, 19.<br /> <br /> La lista completa degli slot dal player's handbook è <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> ! colspan=&quot;3&quot; |Eldritch Knight Spellcasting<br /> ! colspan=&quot;8&quot; |Spell Slots per Spell Level<br /> |-<br /> !Fighter Level<br /> !Cantrips Known<br /> !Spells Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> |-<br /> |3rd<br /> |2<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> |2<br /> |5<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> |3<br /> |7<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> |3<br /> |9<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |18th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |19th<br /> |3<br /> |12<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> |3<br /> |13<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |}<br /> <br /> ==== Cantrips: ====<br /> Due conosciuti, uno aggiuntivo al livello 10.<br /> <br /> * Booming blade<br /> * Sword burst<br /> <br /> ==== Lvl 1: ====<br /> <br /> *<br /> <br /> * shield (imparato lvl3)<br /> * burning hands (lvl3)<br /> * find familiar (lvl3) ''(dalla scuola di conjuring)''<br /> * mage armor (lvl4, da possibilmente dimenticare al lvl7)&lt;br /&gt;<br /> <br /> === Possibili evoluzioni ===<br /> Al livello 6 potrebbe acquisire ''war caster'' come talento, o aumentare STR o INT. <br /> [[Category:Dungeons and Dragons]]</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>'''Sazizzo''' è un mezz'orco guerriero molto caotico. Nel suo essere caotico, non prende posizione. È un mezz'orco guerriero, caotico neutrale, arciere, e eldritch knight. <br /> <br /> Attualmente al livello 5, ha due attacchi, proficiency +3. <br /> [[File:Sasizzo.png|center|frameless]]<br /> <br /> === Spells ===<br /> Impara dalla [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/wizard/spells/ lista del mago], ma è in buona parte [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/fighter/spells/ limitato alle scuole di '''abiurazione''' e '''evocazione'''].<br /> <br /> Quelli dalla lista del mago vengono imparati uno per volta ai livelli 3, 8, 14, 20.<br /> <br /> Quelli di abiurazione ed evocazione, due si imparano al livello 3, e poi uno per volta ai livelli 4, 7, 10, 11, 13, 16, 19.<br /> <br /> La lista completa degli slot dal player's handbook è <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> ! colspan=&quot;3&quot; |Eldritch Knight Spellcasting<br /> ! colspan=&quot;8&quot; |Spell Slots per Spell Level<br /> |-<br /> !Fighter Level<br /> !Cantrips Known<br /> !Spells Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> |-<br /> |3rd<br /> |2<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> |2<br /> |5<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> |3<br /> |7<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> |3<br /> |9<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |18th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |19th<br /> |3<br /> |12<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> |3<br /> |13<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |}<br /> <br /> ==== Cantrips: ====<br /> Due conosciuti, uno aggiuntivo al livello 10.<br /> <br /> * Booming blade<br /> * Sword burst<br /> <br /> ==== Lvl 1: ====<br /> <br /> *<br /> <br /> * shield (imparato lvl3)<br /> * burning hands (lvl3)<br /> * find familiar (lvl3)<br /> * mage armor (lvl4, da possibilmente dimenticare al lvl7)&lt;br /&gt;<br /> <br /> === Evoluzioni: ===<br /> Al livello 6 potrebbe acquisire war caster come talento, o aumentare STR o INT. <br /> [[Category:Dungeons and Dragons]]</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=File:Sasizzo.png&diff=79 2022-05-20T10:19:24Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>Portrait of Sasizzo</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Sasizzo&diff=78 2022-05-20T10:11:11Z

<p>Cal: categorize</p> <hr /> <div>'''Sazizzo''' è un mezz'orco guerriero molto caotico. Nel suo essere caotico, non prende posizione. È un mezz'orco guerriero, caotico neutrale, arciere, e eldritch knight. <br /> <br /> === Spells ===<br /> Impara dalla [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/wizard/spells/ lista del mago], ma è in buona parte [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/fighter/spells/ limitato alle scuole di abiurazione e evocazione].<br /> <br /> Quelli dalla lista del mago vengono imparati uno per volta ai livelli 3, 8, 14, 20.<br /> <br /> Quelli di abiurazione ed evocazione, due si imparano al livello 3, e poi uno per volta ai livelli 4, 7, 10, 11, 13, 16, 19.<br /> <br /> La lista completa degli slot dal player's handbook è <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> ! colspan=&quot;3&quot; |Eldritch Knight Spellcasting<br /> ! colspan=&quot;8&quot; |Spell Slots per Spell Level<br /> |-<br /> !Fighter Level<br /> !Cantrips Known<br /> !Spells Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> |-<br /> |3rd<br /> |2<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> |2<br /> |5<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> |3<br /> |7<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> |3<br /> |9<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |18th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |19th<br /> |3<br /> |12<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> |3<br /> |13<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |}<br /> <br /> ==== Cantrips: ====<br /> Due conosciuti, uno aggiuntivo al livello 10.<br /> <br /> * Booming blade<br /> * Sword burst<br /> <br /> ==== Lvl 1: ====<br /> <br /> *<br /> <br /> <br /> -----<br /> [[Category:Dungeons and Dragons]]</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Sasizzo&diff=77 2022-05-20T10:07:10Z

<p>Cal: 1st draft</p> <hr /> <div>'''Sazizzo''' è un mezz'orco guerriero molto caotico. Nel suo essere caotico, non prende posizione. È un mezz'orco guerriero, caotico neutrale, arciere, e eldritch knight.<br /> <br /> === Spells ===<br /> Impara dalla [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/wizard/spells/ lista del mago], ma è in buona parte [https://rpgbot.net/dnd5/characters/classes/fighter/spells/ limitato alle scuole di abiurazione e evocazione].<br /> <br /> Quelli dalla lista del mago vengono imparati uno per volta ai livelli 3, 8, 14, 20.<br /> <br /> Quelli di abiurazione ed evocazione, due si imparano al livello 3, e poi uno per volta ai livelli 4, 7, 10, 11, 13, 16, 19.<br /> <br /> La lista completa degli slot dal player's handbook è <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> ! colspan=&quot;3&quot; |Eldritch Knight Spellcasting<br /> ! colspan=&quot;8&quot; |Spell Slots per Spell Level<br /> |-<br /> !Fighter Level<br /> !Cantrips Known<br /> !Spells Known<br /> !1st<br /> !2nd<br /> !3rd<br /> !4th<br /> |-<br /> |3rd<br /> |2<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |4th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |5th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |6th<br /> |2<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |7th<br /> |2<br /> |5<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |8th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |9th<br /> |2<br /> |6<br /> |4<br /> |2<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |10th<br /> |3<br /> |7<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |11th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |12th<br /> |3<br /> |8<br /> |4<br /> |3<br /> | -<br /> | -<br /> |-<br /> |13th<br /> |3<br /> |9<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |14th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |15th<br /> |3<br /> |10<br /> |4<br /> |3<br /> |2<br /> | -<br /> |-<br /> |16th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |17th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |18th<br /> |3<br /> |11<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> | -<br /> |-<br /> |19th<br /> |3<br /> |12<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |-<br /> |20th<br /> |3<br /> |13<br /> |4<br /> |3<br /> |3<br /> |1<br /> |}<br /> <br /> ==== Cantrips: ====<br /> Due conosciuti, uno aggiuntivo al livello 10.<br /> <br /> * Booming blade<br /> * Sword burst<br /> <br /> ==== Lvl 1: ====<br /> <br /> *</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Metodi_1&diff=76 2022-05-14T17:01:45Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}\tag{generica}$$<br /> <br /> ====Condizioni al contorno iniziali====<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni, date le condizioni iniziali, sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====Parità e condizioni al contorno generiche====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos (i \lambda x) - i \sin (i \lambda x) ) + b_2 (\cos (i\lambda x) + i \sin (i\lambda x) ) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos (i\lambda x) - i(b_1 - b_2) \sin (i\lambda x) \\<br /> \\<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; \lambda (b_1 e^{\lambda x} - b_2 e^{-\lambda x}) \\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ b_1 \left(\cos (i \lambda x) - i \sin(i \lambda x)\right) - b_2 \left(\cos (i \lambda x) + i \sin (i \lambda x) \right)\right]\\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ (b_1-b_2)\cos (i \lambda x) - i(b_1+b_2) \sin (i \lambda x) \right]<br /> \end{array}$$<br /> <br /> Da ciò sembra evidente che le $X$ sono una somma di oggetti pari (i coseni) e oggetti dispari (i seni), per imporre una parità definita dovremmo annullare una delle due parti. Per $X$ pari, dovremmo avere $b_1=b_2$, e per $X$ dispari si avrà $b_1 = - b_2$:<br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X_p(x) &amp;=&amp; 2 b_1 \cos (i \lambda x) \\<br /> X_p^\prime(x) &amp;=&amp; - 2 i \lambda b_1 \sin (i \lambda x) \\<br /> X_d(x) &amp;=&amp; - 2i b_1 \sin (i \lambda x)\\<br /> X_d^\prime(x) &amp;=&amp; 2 \lambda b_1 \cos (i \lambda x)<br /> \end{array}$$ <br /> <br /> A ognuna di queste vanno applicate le nuove condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> AX_p(-\frac{\pi}{2}) + BX_p^\prime(-\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> CX_p(\frac{\pi}{2}) + DX_p^\prime(\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> AX_d(-\frac{\pi}{2}) + BX_d^\prime(-\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> CX_d(\frac{\pi}{2}) + DX_d^\prime(\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Metodi_1&diff=75 2022-05-14T15:30:00Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}\tag{generica}$$<br /> <br /> ====Condizioni al contorno iniziali====<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni, date le condizioni iniziali, sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====Parità e condizioni al contorno generiche====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos (i \lambda x) - i \sin (i \lambda x) ) + b_2 (\cos (i\lambda x) + i \sin (i\lambda x) ) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos (i\lambda x) - i(b_1 - b_2) \sin (i\lambda x) \\<br /> \\<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; \lambda (b_1 e^{\lambda x} - b_2 e^{-\lambda x}) \\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ b_1 \left(\cos (i \lambda x) - i \sin(i \lambda x)\right) - b_2 \left(\cos (i \lambda x) + i \sin (i \lambda x) \right)\right]\\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ (b_1-b_2)\cos (i \lambda x) - i(b_1+b_2) \sin (i \lambda x) \right]<br /> \end{array}$$<br /> <br /> Da ciò sembra evidente che le $X$ sono una somma di oggetti pari (i coseni) e oggetti dispari (i seni), per imporre una parità definita dovremmo annullare una delle due parti. Per $X$ pari, dovremmo avere $b_1=b_2$, e per $X$ dispari si avrà $b_1 = - b_2$:<br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X_p(x) &amp;=&amp; 2 b_1 \cos (i \lambda x) \\<br /> X_p^\prime(x) &amp;=&amp; - 2 i \lambda b_1 \sin (i \lambda x) \\<br /> X_d(x) &amp;=&amp; - 2i b_1 \sin (i \lambda x)\\<br /> X_d^\prime(x) &amp;=&amp; 2 \lambda b_1 \sin (i \lambda x)<br /> \end{array}$$ <br /> <br /> A ognuna di queste vanno applicate le nuove condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> AX_p(-\frac{\pi}{2}) + BX_p^\prime(-\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> CX_p(\frac{\pi}{2}) + DX_p^\prime(\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> AX_d(-\frac{\pi}{2}) + BX_d^\prime(-\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> CX_d(\frac{\pi}{2}) + DX_d^\prime(\frac{\pi}{2}) = 0 \\<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Metodi_1&diff=74 2022-05-14T15:11:37Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}\tag{generica}$$<br /> <br /> ====Condizioni al contorno iniziali====<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni, date le condizioni iniziali, sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====Parità e condizioni al contorno generiche====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos (i \lambda x) - i \sin (i \lambda x) ) + b_2 (\cos (i\lambda x) + i \sin (i\lambda x) ) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos (i\lambda x) - i(b_1 - b_2) \sin (i\lambda x) \\<br /> \\<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; \lambda (b_1 e^{\lambda x} - b_2 e^{-\lambda x}) \\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ b_1 \left(\cos (i \lambda x) - i \sin(i \lambda x)\right) - b_2 \left(\cos (i \lambda x) + i \sin (i \lambda x) \right)\right]\\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ (b_1-b_2)\cos (i \lambda x) - i(b_1+b_2) \sin (i \lambda x) \right]<br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Metodi_1&diff=73 2022-05-14T15:10:47Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}\tag{generica}$$<br /> <br /> =====Condizioni al contorno iniziali=====<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni, date le condizioni iniziali, sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====Parità e condizioni al contorno generiche====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos (i \lambda x) - i \sin (i \lambda x) ) + b_2 (\cos (i\lambda x) + i \sin (i\lambda x) ) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos (i\lambda x) - i(b_1 - b_2) \sin (i\lambda x) \\<br /> \\<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; \lambda (b_1 e^{\lambda x} - b_2 e^{-\lambda x}) \\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ b_1 \left(\cos (i \lambda x) - i \sin(i \lambda x)\right) - b_2 \left(\cos (i \lambda x) + i \sin (i \lambda x) \right)\right]\\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ (b_1-b_2)\cos (i \lambda x) - i(b_1+b_2) \sin (i \lambda x) \right]<br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Metodi_1&diff=72 2022-05-14T15:05:04Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====Parità e condizioni al contorno generiche====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos (i \lambda x) - i \sin (i \lambda x) ) + b_2 (\cos (i\lambda x) + i \sin (i\lambda x) ) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos (i\lambda x) - i(b_1 - b_2) \sin (i\lambda x) \\<br /> \\<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; \lambda (b_1 e^{\lambda x} - b_2 e^{-\lambda x}) \\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ b_1 \left(\cos (i \lambda x) - i \sin(i \lambda x)\right) - b_2 \left(\cos (i \lambda x) + i \sin (i \lambda x) \right)\right]\\<br /> &amp;=&amp; \lambda \left[ (b_1-b_2)\cos (i \lambda x) - i(b_1+b_2) \sin (i \lambda x) \right]<br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>/* Any JavaScript here will be loaded for all users on every page load. */<br /> $(typesetMath);<br /> if ( $('#wikiPreview').length ){<br /> setInterval(typesetMath,1000);<br /> }</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====Parità e condizioni al contorno generiche====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos{(i \lambda x)} - i \sin{(i \lambda x)}) + b_2 (\cos{(i\lambda x)} + i \sin{(i\lambda x)}) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos{(i\lambda x)} - i(b_1 - b_2) \sin{(i\lambda x)}\\<br /> \end{array}$$<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; <br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====2====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos{(i \lambda x)} - i \sin{(i \lambda x)}) + b_2 (\cos{(i\lambda x)} + i \sin{(i\lambda x)}) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos{(i\lambda x)} - i(b_1 - b_2) \sin{(i\lambda x)}\\<br /> \end{array}$$<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; <br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====2====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos{(i \lambda x)} - i \sin{(i \lambda x)}) + b_2 (\cos{(i\lambda x)} + i \sin{(i\lambda x)}) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos{(i\lambda x)} - i(b_1 - b_2) \sin{(i\lambda x)}\\<br /> \end{array}$$<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; <br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====2====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos{(i \lambda x)} - i \sin{(i \lambda x)}) + b_2 (\cos{(i\lambda x)} + i \sin{(i\lambda x)}) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos{(\lambda x)} - i(b_1 - b_2) \sin{(\lambda x)}\\<br /> \end{array}$$<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; <br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====2====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{i\lambda x} + b_2 e^{-i \lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos{(\lambda x)} + i \sin{(\lambda x)}) + b_2 (\cos{(\lambda x)} - i \sin{(\lambda x)}) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos{(\lambda x)} + i(b_1 - b_2) \sin{(\lambda x)}\\<br /> \end{array}$$<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; <br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$</div>

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<p>Cal: continua dopo</p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> ====2====<br /> <br /> La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $ad=-bc$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> A u(-\frac{\pi}{2},t) + B u_x(-\frac{\pi}{2}, t) = 0\\<br /> C u(\frac{\pi}{2},t) + D u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$:<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X(x) &amp;=&amp; b_1 e^{i\lambda x} + b_2 e^{-i \lambda x}\\<br /> &amp;=&amp; b_1 (\cos{(\lambda x)} + i \sin{(\lambda x)}) + b_2 (\cos{(\lambda x)} - i \sin{(\lambda x)}) \\<br /> &amp;=&amp; (b_1 + b_2) \cos{(\lambda x)} + i(b_1 - b_2) \sin{(\lambda x)}\\<br /> \end{array}$$<br /> <br /> $$\begin{array}{rcl}<br /> X^\prime (x) &amp;=&amp; <br /> \end{array}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\left\{\begin{array}{ll}<br /> T_n(t) &amp;= a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) &amp;= b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\\<br /> &amp;= b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})<br /> \end{array}\right.$$<br /> <br /> <br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Metodi_1&diff=58 2022-05-13T07:16:52Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\begin{cases}T_n(t) = a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) = b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x}) = b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\end{cases}$$<br /> <br /> <br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\begin{cases}T_n(t) = a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) = b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x}) = b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\end{cases}$$<br /> <br /> <br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} $</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\begin{cases}T_n(t) = a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) = b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x}) = b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\end{cases}$$<br /> <br /> <br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq \ln{(a)} b$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\begin{cases}T_n(t) = a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) = b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x}) = b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\end{cases}$$<br /> <br /> <br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln(a e^b) = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq \ln{(a)} b$</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=MediaWiki:Common.js&diff=53 2022-05-12T18:27:36Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>/* Any JavaScript here will be loaded for all users on every page load. */<br /> $(typesetMath);</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=MediaWiki:Common.js&diff=52 2022-05-12T18:12:45Z

<p>Cal: Created page with &quot;/* Any JavaScript here will be loaded for all users on every page load. */ $(&#039;#content&#039;).ready(typesetMath);&quot;</p> <hr /> <div>/* Any JavaScript here will be loaded for all users on every page load. */<br /> $('#content').ready(typesetMath);</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Stoven&diff=51 2022-05-12T15:38:28Z

<p>Cal: Created page with &quot;==2022-05-12== $$\begin{cases} I \ddot \theta = 0 = k_1 z (\hat z \wedge \hat L) \frac{L}{4} - k_2 z (\hat z \wedge \hat L) \frac{3L}{4} \\ mg\hat z = -(k_1 + k_2) z \hat z \end{cases}$$ $$\begin{cases} I \ddot \theta = 0 = \frac{1}{4} zL (k_1 - 3 k_2) (\hat z \wedge \hat L)\\ mg\hat z = -(k_1 + k_2) z \hat z \end{cases}$$&quot;</p> <hr /> <div>==2022-05-12==<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> I \ddot \theta = 0 = k_1 z (\hat z \wedge \hat L) \frac{L}{4} - k_2 z (\hat z \wedge \hat L) \frac{3L}{4} \\<br /> mg\hat z = -(k_1 + k_2) z \hat z<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> I \ddot \theta = 0 = \frac{1}{4} zL (k_1 - 3 k_2) (\hat z \wedge \hat L)\\<br /> mg\hat z = -(k_1 + k_2) z \hat z<br /> \end{cases}$$</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Main_Page&diff=50 2022-05-12T12:24:43Z

<p>Cal: Import Special:AllPages</p> <hr /> <div>Hello.<br /> <br /> I am still deciding what should go here.<br /> [[File:Quadrato_blu.png|alt=A big, blue, square. Entirely monocromatic and square.|center|Un quadrato molto blu.|thumb]]<br /> <br /> {{Special:AllPages}}</div>

Cal https://wiki.qualcuno.xyz/index.php?title=Metodi_1&diff=49 2022-05-12T11:32:04Z

<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$<br /> <br /> $$\begin{cases}T_n(t) = a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) = b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x}) = b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\end{cases}$$<br /> <br /> <br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln(a e^b) = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{e^{\ln{(a)} + b}} = \ln{(a)} + b \neq \ln{(a)} b$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi<br /> <br /> $$\begin{cases}T_n(t) = a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) = b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x}) = b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\end{cases}$$<br /> <br /> <br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln(a e^b) = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{e^{\ln{(a)} + b}} = \ln{(a)} + b \neq \ln{(a)} b$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> ====Ottenere le soluzioni generiche====<br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> <br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\ <br /> X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Le soluzioni generiche sono quindi<br /> <br /> $$\begin{cases}T_n(t) = a e^{(\frac{1+2n}{2})^2 t}\\ <br /> X_n(x) = b (e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}} e^{i\frac{1+2n}{2} x} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x}) = b (e^{i\frac{1+2n}{2}(x-\pi)} + e^{-i\frac{1+2n}{2} x})\end{cases}$$<br /> <br /> <br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln(a e^b) = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{e^{\ln{(a)} + b}} = \ln{(a)} + b \neq \ln{(a)} b$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>===Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?===<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> <br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$T(t) = a e^{-\lambda^2 t}$$ <br /> $$X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> ==Common pitfalls==<br /> <br /> * $\ln(a e^b) = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{e^{\ln{(a)} + b}} = \ln{(a)} + b \neq \ln{(a)} b$</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> <br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$T(t) = a e^{-\lambda^2 t}$$ <br /> $$X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> Notiamo che $\lambda = 0$ ci conduce alla soluzione banale...<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = - e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo $-1 = e^{(1+2n)i\pi}$, $n \in \mathbb{Z}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} = e^{(1+2n)i\pi} e^{\frac{\pi}{2}\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2} e^{\frac{\pi}{2}\lambda} = e^{-\frac{\pi}{2}\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Divido la prima equazione per $e^{-\frac{\pi}{2} \lambda}$ e la seconda per $e^{\frac{\pi}{2}\lambda}$:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{(1+2n)i\pi} e^{\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituisco la seconda equazione nella prima, e divido l'equazione così ottenuta per $e^{-\pi\lambda}$, inoltre, scrivo $1$ come $e^0$:<br /> $$\begin{cases}<br /> e^0 = e^{(1+2n)i\pi} e^{2\pi\lambda } \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Prendo il logaritmo della prima equazione:<br /> $$\begin{cases}<br /> 0 = (i + 2ni + 2\lambda)\pi \\<br /> \frac{b_1}{b_2}= e^{-\pi\lambda }<br /> \end{cases}$$<br /> Da cui,<br /> $$\begin{cases}<br /> \lambda = i\frac{1+2n}{2} \\<br /> b_1= b_2 e^{-i\pi\frac{1+2n}{2}}<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> <br /> Leggi oltre per scoprire perché non devi fare logaritmi di cose che non sono esponenziali:<br /> <br /> <br /> ---------<br /> e prendiamo il logaritmo di tutto.<br /> $$\begin{cases}<br /> \ln{\frac{b_1}{b_2}} (-1) \frac{\pi}{2} \lambda = (1+2n)i\pi + \frac{\pi}{2}\lambda \\<br /> \ln{\frac{b_1}{b_2}} \frac{\pi}{2}\lambda = -\frac{\pi}{2}\lambda<br /> \end{cases}$$<br /> Raccogliamo:<br /> $$\begin{cases}<br /> \ln{\frac{b_1}{b_2}} \frac{-1}{2} \pi \lambda = ((1+2n)i + \frac{1}{2}\lambda)\pi \\<br /> \ln{\frac{b_1}{b_2}} \frac{1}{2}\pi\lambda = -\frac{1}{2}\pi\lambda<br /> \end{cases}$$<br /> Semplifichiamo:<br /> $$\begin{cases}<br /> \ln{\frac{b_1}{b_2}} \frac{-1}{2} \lambda = (1+2n)i + \frac{1}{2}\lambda \\<br /> \ln{\frac{b_1}{b_2}} = -1<br /> \end{cases}$$<br /> Sostituiamo:<br /> $$\begin{cases}<br /> \frac{1}{2} \lambda = (1+2n)i + \frac{1}{2}\lambda \\<br /> \ln{\frac{b_1}{b_2}} = -1<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Ottenuto questo, viene la parte fondamentale. Vanno applicate le condizioni al contorno, e, ribadisco fondamentale, è che siano applicate contemporaneamente e non una alla volta. Perché altrimenti i calcoli rischiano di non avere alcun senso.</div>

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<p>Cal: </p> <hr /> <div>Come affrontare un'equazione differenziale a variabili separabili?<br /> <br /> Partiamo da un'equazione come $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\text{.}$$ <br /> <br /> Prima di tutto, separare le variabili e assumere che le soluzioni separate siano somme di esponenziali complesse.<br /> <br /> Assumiamo che &lt;math&gt;u(x,t) = X(x)T(t)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Da ciò, deriviamo. Ottenendo: $XT^\prime = X^{\prime\prime}T$, e quindi $$\frac{T^\prime}{T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda^2 \text{;}\qquad \begin{cases}T^\prime + \lambda^2 T = 0 \\<br /> X^{\prime\prime} +\lambda^2 X =0 \end{cases}$$<br /> <br /> Assumiamo anche che &lt;math&gt;X(x) = b e^{\beta x}&lt;/math&gt;, e che &lt;math&gt;T(t) = a e^{\alpha t}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> $$\begin{cases}a\alpha e^{\alpha t} + \lambda^2 a e^{\alpha t} = (\alpha + \lambda^2) a e^{\alpha t} = 0 \\<br /> b \beta^2 e^{\beta x} + \lambda^2 b e^{\beta x} = (\beta^2+\lambda^2) b e^{\beta x} = 0 \end{cases}<br /> $$<br /> <br /> Una volta impostato il sistema con entrambe le equazioni per $X$ e $T$, cerchiamo di ottenere $\alpha$ e $\beta$ in funzione della costante $\lambda$ che collega le due equazioni.<br /> <br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha + \lambda^2 = 0 \\<br /> \beta^2+\lambda^2 = 0<br /> \end{cases}$$<br /> $$\begin{cases}<br /> \alpha = - \lambda^2 \\<br /> \beta = \sqrt{\lambda^2} \implies \beta_1 = \lambda \text{;} \beta_2 = i^2 \lambda \text{.} <br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$T(t) = a e^{-\lambda^2 t}$$ <br /> $$X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}$$<br /> <br /> Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$<br /> <br /> Sostituiamo quindi quanto ottenuto in precedenza nel sistema delle condizioni al contorno:<br /> $$\begin{cases}<br /> b_1 e^{-\frac{\pi}{2} \lambda} + b_2 e^{\frac{\pi}{2}\lambda } = 0 \\<br /> b_1 \lambda e^{\frac{\pi}{2}\lambda} - b_2 \lambda e^{-\frac{\pi}{2}\lambda } = 0<br /> \end{cases}$$<br /> <br /> Ottenuto questo, viene la parte fondamentale. Vanno applicate le condizioni al contorno, e, ribadisco fondamentale, è che siano applicate contemporaneamente e non una alla volta. Perché altrimenti i calcoli rischiano di non avere alcun senso.</div>

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