Metodi 1 - Revision history

Cal at 12:30, 21 May 2022

2022-05-21T12:30:38Z

← Older revision		Revision as of 12:30, 21 May 2022
Line 119:		Line 119:
	==Common pitfalls==		==Common pitfalls==

	* $\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $		$$\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $$

2022-05-14T17:01:45Z

← Older revision		Revision as of 17:01, 14 May 2022
Line 104:		Line 104:
	X_p^\prime(x) &=& - 2 i \lambda b_1 \sin (i \lambda x) \\		X_p^\prime(x) &=& - 2 i \lambda b_1 \sin (i \lambda x) \\
	X_d(x) &=& - 2i b_1 \sin (i \lambda x)\\		X_d(x) &=& - 2i b_1 \sin (i \lambda x)\\
	X_d^\prime(x) &=& 2 \lambda b_1 \~~sin~~ (i \lambda x)		X_d^\prime(x) &=& 2 \lambda b_1 \cos (i \lambda x)
	\end{array}$$		\end{array}$$

2022-05-14T15:30:00Z

@@ Line 98: / Line 98: @@
 &=& \lambda \left[ (b_1-b_2)\cos (i \lambda x)  - i(b_1+b_2) \sin (i \lambda x)  \right]
 \end{array}$$
 ==Common pitfalls==
 * $\ln (a e^b)  = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a)  + b \neq b \ln (a)  = \ln (a^b) $

2022-05-14T15:11:37Z

← Older revision		Revision as of 15:11, 14 May 2022
Line 30:		Line 30:
	X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}\tag{generica}$$		X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}\tag{generica}$$

	=====Condizioni al contorno iniziali=====		====Condizioni al contorno iniziali====

	Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$		Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$

2022-05-14T15:10:47Z

← Older revision		Revision as of 15:10, 14 May 2022
Line 28:		Line 28:

	Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\		Abbiamo quindi ottenuto due equazioni, $$\begin{cases}T(t) = a e^{-\lambda^2 t}\\
	X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}$$		X(x) = b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\end{cases}\tag{generica}$$

			=====Condizioni al contorno iniziali=====

	Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$		Adesso possiamo applicare le condizioni al contorno. Nell'esame che stiamo seguendo, queste erano: $$\begin{cases}u(-\frac{\pi}{2},t) = 0 \\ u_x(\frac{\pi}{2}, t) = 0\end{cases}$$
Line 68:		Line 70:
	\end{cases}$$		\end{cases}$$

	Le soluzioni ~~generiche~~ sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$		Le soluzioni, date le condizioni iniziali, sono quindi, ricordando $ n\in \mathbb Z$

	$$\left\{\begin{array}{ll}		$$\left\{\begin{array}{ll}

2022-05-14T15:05:04Z

← Older revision		Revision as of 15:05, 14 May 2022
Line 89:		Line 89:
	$$\begin{array}{rcl}		$$\begin{array}{rcl}
	X(x) &=& b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\		X(x) &=& b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\
	&=& b_1 (\cos{(i \lambda x)} - i \sin{(i \lambda x)}) + b_2 (\cos{(i\lambda x)} + i \sin{(i\lambda x)}) \\		&=& b_1 (\cos (i \lambda x) - i \sin (i \lambda x) ) + b_2 (\cos (i\lambda x) + i \sin (i\lambda x) ) \\
	&=& (b_1 + b_2) \cos{(i\lambda x)} - i(b_1 - b_2) \sin{(i\lambda x)}\\		&=& (b_1 + b_2) \cos (i\lambda x) - i(b_1 - b_2) \sin (i\lambda x) \\
	\~~end{array}$$~~		\\
			X^\prime (x) &=& \lambda (b_1 e^{\lambda x} - b_2 e^{-\lambda x}) \\
	$$\~~begin~~{~~array~~}{~~rcl~~}		&=& \lambda \left[ b_1 \left(\cos (i \lambda x) - i \sin(i \lambda x)\right) - b_2 \left(\cos (i \lambda x) + i \sin (i \lambda x) \right)\right]\\
	X^\~~prime~~ (x) &=&		&=& \lambda \left[ (b_1-b_2)\cos (i \lambda x) - i(b_1+b_2) \sin (i \lambda x) \right]
	\end{array}$$		\end{array}$$

	==Common pitfalls==		==Common pitfalls==

	* $\ln{(a e^b)} = \ln{e^{\ln{a}} e^b} = \ln{(e^{\ln{(a)} + b})} = \ln{(a)} + b \neq b \ln{(a)} = \ln{(a^b)}$		* $\ln (a e^b) = \ln (e^{\ln{a}} e^b) = \ln (e^{\ln{(a)} + b}) = \ln (a) + b \neq b \ln (a) = \ln (a^b) $

2022-05-14T14:23:14Z

← Older revision		Revision as of 14:23, 14 May 2022
Line 76:		Line 76:
	\end{array}\right.$$		\end{array}\right.$$

	====2====		====Parità e condizioni al contorno generiche====

	La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:		La consegna chiede poi di verificare che perché le $X_n$ abbiano una parità definita, la condizione $AD=-BC$ sia verificata nelle seguenti condizioni al contorno:

2022-05-14T14:09:00Z

← Older revision		Revision as of 14:09, 14 May 2022
Line 85:		Line 85:
	\end{cases}$$		\end{cases}$$

	Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}:		Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}$:

	$$\begin{array}{rcl}		$$\begin{array}{rcl}

2022-05-14T14:08:28Z

← Older revision		Revision as of 14:08, 14 May 2022
Line 85:		Line 85:
	\end{cases}$$		\end{cases}$$

	Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$:		Per studiare la parità è conveniente scrivere $X$ e $X^\prime$ in termini di seni e coseni, usando la relazione $e^{i\theta} =\cos{\theta} + i\sin{\theta}$, ovvero $e^z = \cos{(iz)} - i\sin{(iz)}:

	$$\begin{array}{rcl}		$$\begin{array}{rcl}
	X(x) &=& b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\		X(x) &=& b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\
	&=& b_1 (\cos{(i \lambda x)} - i \sin{(i \lambda x)}) + b_2 (\cos{(i\lambda x)} + i \sin{(i\lambda x)}) \\		&=& b_1 (\cos{(i \lambda x)} - i \sin{(i \lambda x)}) + b_2 (\cos{(i\lambda x)} + i \sin{(i\lambda x)}) \\
	&=& (b_1 + b_2) \cos{(\lambda x)} - i(b_1 - b_2) \sin{(\lambda x)}\\		&=& (b_1 + b_2) \cos{(i\lambda x)} - i(b_1 - b_2) \sin{(i\lambda x)}\\
	\end{array}$$		\end{array}$$

2022-05-14T14:06:56Z

← Older revision		Revision as of 14:06, 14 May 2022
Line 88:		Line 88:

	$$\begin{array}{rcl}		$$\begin{array}{rcl}
	X(x) &=& b_1 e^{i\lambda x} + b_2 e^{-i \lambda x}\\		X(x) &=& b_1 e^{\lambda x} + b_2 e^{-\lambda x}\\
	&=& b_1 (\cos{(\lambda x)} + i \sin{(\lambda x)}) + b_2 (\cos{(\lambda x)} - i \sin{(\lambda x)}) \\		&=& b_1 (\cos{(i \lambda x)} - i \sin{(i \lambda x)}) + b_2 (\cos{(i\lambda x)} + i \sin{(i\lambda x)}) \\
	&=& (b_1 + b_2) \cos{(\lambda x)} + i(b_1 - b_2) \sin{(\lambda x)}\\		&=& (b_1 + b_2) \cos{(\lambda x)} - i(b_1 - b_2) \sin{(\lambda x)}\\
	\end{array}$$		\end{array}$$